Wymiar fraktalny (wymiar podobieństwa)

Samo słowo "fraktal" pochodzi od słowa frangere co w języku łacińskim oznacza "łamać". Nazwa ta jest trafna, ponieważ wymiar fraktala nie jest liczbą całkowitą (wyjątkiem jest zbiór Mandelbrota).  Trudno jest nam sobie jednak to wyobrazić, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do dwu- lub trójwymiarowych figur i brył. 

Aby opisać położenie dowolnego punktu w świecie potrzebujemy trzech wymiarów - długości, wysokości i szerokości. Jednak aby opisać miejsce, w którym znajduje się przedmiot na stole wystarczą nam już tylko dwie współrzędne - długosć i szerokość, a do opisania pewnego miejsca na sznurze - tylko jedna współrzędna, która określa nam odległość od początku lub końca sznuru. Takie podejście do pojęcia "wymiaru" pozwala nam lepiej spojrzeć na tzw. wymiar samopodobieństwa.

---

Wymiar samopodobieństwa w matematyce definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej ,,ile figur podobnych do wyjściowej powstaje". Dla przykładu przeanalizujmy zbiór Cantora:

Każdy odcinek dzielimy na trzy, a następnie "wycinamy" środek. Każdy nowo powstały odcinek jest więc podobny do poprzedniego w skali 3, a z każdego odcinka powstają dwa nowe. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy wynik - wymiar fraktalu wynoszący w tym wypadku 0,631.

Ponieważ zbiór Cantora znajduje się w przestrzeni jednowymiarowej, a jego wymiar samopodobieństwa jest mniejszy niż 1 daje pozwala nam to wysnuć ważny wniosek. Wymiar fraktalu daje nam informację w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Jest on zawsze mniejszy od liczby wymiarów, którymi opisujmey fraktal. Jednym z wyjątków jest zbiór Mandelbrota. Przykładowe wymiary fraktali:

• Śnieżynka Kocha (2-wymiarowa) - 1,262
• Kostka Mengera (3-wymiarowa) - 2,727
• Dywan Sierpińskiego (2-wymiarowy) - 1,893
• Trójkąt sierpińskiego (2-wymiarowy) - 1,585
• Zbiór Mandelbrota (2-wymiarowy) - 2